d0ct0r
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| Domenica 27 Ottobre 2013 18:19:31
Ultima modifica di d0ct0r (Domenica 27 Ottobre 2013 18:26:08)
Limiti Notevoli in Analisi Matematica
Discussione critica sul concetto di limite-notevole e del suo utilizzo nei corsi di Analisi Matematica, nell'ambito della scuola media superiore.
Il concetto di "limite notevole" http://it.wikipedia.org/wiki/Limite_notevole è uno delle pietre miliari nello studio dell'analisi matematica, a livello di scuola media superiore. Esso ci permette di affrontare il calcolo di altri limiti, purché siano "finiti", tramite l'applicazione di teoremi che sono noti come "regole per il calcolo dei limiti".
Il nome dato a questi limiti si giustifica, più che altro, per il fatto che tranne i "casi banali" relativi al limite del rapporto di due funzioni polinomiali, essi trattano il limite al finito (cioè per x che "tende" ad un numero reale) e all'infinito (cioè per x che "tende" a +infinito oppure a -infinito) di funzioni "trascendenti".
In Analisi Matematica il concetto di funzione trascendente è particolamente profondo. Prima di aprire una breve discussione su questa classe di funzioni, è bene richiamare le più importanti rappresentanti di questa categoria così particolare: "seno", "coseno", "tangente", "cotangente" e le loro funzioni inverse (arco-seno, arco-coseno, arco-tangente, ed arco-cotangente); "esponenziale", "logaritmo", "potenza ad esponente reale". Queste ultime tre sono strettamente imparentate, in quanto esponenziale e logaritmo sono l'una l'inversa dell'altra, e per mezzo delle leggi dei logaritmi si può agilmente passare dal logaritmo di una potenza ad una espressione in cui l'esponente va a moltiplicare il logaritmo della base.
A questo punto si arriva alla parte più "seria" di questa nota. Non bisogna dimenticare che quando vengono spiegate le funzioni trascendenti di cui sopra, in un normalissimo corso di analisi matematica di livello da scuola superiore, si "appoggia" il discorso al comportamento "geometrico" di tali funzioni, ossia facendo riferimento (e, così, dando per scontante parecchie questioni di natura puramente geometrico-euclidea non-banali, ma "a vista" evidenti) al grafico delle stesse funzioni. Il grafico delle funzioni, in generale, si insegna "tracciandolo per punti" a livello scolastico: questo è un modo facile per far capire come tali funzioni si "dovrebbero" comportare, e dal loro grafico, con qualche artificio preso in prestito dalla geometria analitica piana, è possibile capire il comportamento di tali funzioni "al limite" per x che tende ad un valore finito oppure infinito. Si tratta, ovviamente, di soluzioni ad-hoc valide solo per questa classe di funzioni, non certamente applicabile in modo rigoroso a funzioni la cui definizione algebrica è più complicata.
Una volta che sono stati dimostrati i limiti notevoli delle funzioni trascendenti, si passa ad utilizzare tali espressioni per "scomporre" una funzione più complicata in vari pezzi che possano, ciascuno, essere confrontati con le singole espressioni delle suddette funzioni trascendenti: è tipicamente applicato un metodo di confronto per "maggiorazione" o per "minorazione". Cosa significa tutto ciò? Significa che, ad esempio, per decidere che una funzione sempre positiva F(x) tende a zero per x --> c la si confronta con una funzione G(x) che assume valori maggiori o uguali ad F, su un intervallo sufficientemente piccolo contenente c, e tale che G(x) --> 0 per x --> c. Infatti allora avremmo che siccome è sempre F(x) < G(x), tale diseguaglianza vale anche al limite per x --> c e l'andare a zero di G comporta l'andare a zero di F.
La metodologia impiegata, e spiegata qui con l'esempio di cui sopra, è in generale piuttosto laboriosa, soprattutto per il processo di "scomposizione e confronto" di vari pezzi di una funzione, diciamo F, di cui studiare il limite rispetto ad altre "funzioni campione" (nel nostro caso, le funzioni trascendenti).
E' possibile trovare un metodo più generale, e soprattutto che non faccia uso di confronti e scomposizioni? La risposta è positiva, e viene ancora dall'Analisi Matematica.
Ovviamente, l'Analisi Matematica studiata alle scuole medie superiori non può fornire, per ragioni di tempo utile rispetto al programma ministeriale, una preparazione adeguata al soggetto della Teoria dei Limiti, ma la soluzione al problema proposto sopra è data nel Calcolo Differenziale, con il concetto di "derivata". Lo strumento teorico del calcolo differenziale mette a disposizione metodologie, ad esempio quelle del "polinomio di Taylor" e del "confronto infinitesimale" (tra le quali i metodi "o-piccolo", "o-grande", "uguale ordine di grandezza", "asintotico"). Sebbene il calcolo differenziale venga insegnato anche nelle scuole superiori, certi dettagli tecnici sono materia di un corso universitario in analisi matematica. Tramite le metodologie discusse poc'anzi è possibile facilmente eseguire il calcolo dei limiti in tantissime circostanze, anche se in alcuni altri casi più specifici si può ricorrere a teoremi più tecnici come ad esempio quello di Hospital, sul confronto del rapporto delle derivate.
Prima di concludere, è giusto dare qualche informazione utile a capire come "veramente vanno le cose", se l'Analisi Matematica viene studiata in modo serio (quindi, ahivoi, non alle scuole superiori). Prima di tutto, il concetto di limite è sviluppato da quella branca della Matematica che si chiama "Topologia Generale": esso ha a che fare con il concetto di "intorno", ossia "vicinanza" ad un punto. Quindi il concetto di limite è tutt'altro che banale, tutt'altro che intuitivo nella sua veste più teorica. In secondo luogo, le funzioni trascendenti discusse sopra sono trattate come il limite di "serie di funzioni", un argomento (quello delle serie di funzioni) troppo vasto per essere trattato a livello scolastico: basti pensare che tutta l'Analisi Reale (cioè, lo studio delle proprietà delle funzioni reali di variabile reale) si appoggia, come tipologia di funzioni, per la gran parte su funzioni polinomiali e solo "al limite", tramite il concetto di "somma di una serie di funzioni", introduce le funzioni trascendenti di cui sopra.
Quindi, volendo trarre le conclusioni di tutta questa spiegazione, nell'Analisi Matematica viene prima studiato il concetto di derivata, nel calcolo differenziale, poi si sviluppano teoremi come quello del Polinomio di Taylor, il teorema di Hospital, e solo infine si arriva a definire in modo rigoroso le funzioni trascendenti per mezzo del limite di opportune serie di funzioni (per la precisione, serie di potenze.... le funzioni più semplici in assoluto!). Pertanto, una volta che si ha tutto quel che c'è da sapere sulle funzioni trascendenti, si sanno anche già calcolare tutti i limiti che si vuole, per mezzo degli strumenti potenti offerti dai teoremi del calcolo differenziale.
Come si osserva, allora, la "storia" dei limiti notevoli è solo una "parentesi scolastica", che comunque rimane anche a livello universitario, solo riproposta dopo aver studiato il calcolo differenziale nel modo indicato sopra.
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Non aspetto che mi venga dato di sapere: nella mensa della conoscenza mi servo da solo. |
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